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Kalman滤波器从原理到实现

 
发布者: 发布时间:2017-11-23 阅读:249

    说起Kalman滤波器的历史,最早要追溯到17世纪,Roger Cotes开始研究最小均方问题。但由于缺少实际案例的支撑(那个时候哪来那么多雷达啊啥的这些信号啊),Cotes的研究让人看着显得很模糊,因此在估计理论的发展中影响很小。17世纪中叶,最小均方估计(Least squares Estimation)理论逐步完善,Tobias Mayer在1750年将其用于月球运动的估计,Leonard Euler在1749年、Pierre Laplace在1787分别用于木星和土星的运动估计。Roger Boscovich在1755用最小均方估计地球的大小。1777年,77岁的Daniel Bernoulli(大名鼎鼎的伯努利)发明了最大似然估计算法。递归的最小均方估计理论是由Karl Gauss建立在1809年(好吧,他声称在1795年就完成了),当时还有Adrien Legendre在1805年完成了这项工作,Robert Adrain在1808年完成的,至于到底谁是Boss,矮子们就别管了吧!

    在1880年,丹麦的天文学家Thorvald Nicolai Thiele在之前最小均方估计的基础上开发了一个递归算法,与Kalman滤波非常相似。在某些标量的情况下,Thiele的滤波器与Kalman滤波器时等价的,Thiele提出了估计过程噪声和测量噪声中方差的方法(过程噪声和测量噪声是Kalman滤波器中关键的概念)。

    上面提到的这么多研究估计理论的先驱,大多是天文学家而非数学家。现在,大部分的理论贡献都源自于实际的工程。“There is nothing so practical as a good theory”,应该就是“实践是检验真理的唯一标准”之类吧。

    现在,我们的控制论大Wiener终于出场了,还有那个叫Kolmogorov(柯尔莫戈洛夫)的神人。在19世纪40年代,Wiener设计了Wiener滤波器,然而,Wiener滤波器不是在状态空间进行的(这个学过Wiener滤波的就知道,它是直接从观测空间z(n)=s(n)+w(n)进行的滤波),Wiener是稳态过程,它假设测量是通过过去无限多个值估计得到的。Wiener滤波器比Kalman滤波器具有更高的自然统计特性。这些也限制其只是更接近理想的模型,要直接用于实际工程中需要足够的先验知识(要预知协方差矩阵),美国NASA曾花费多年的时间研究维纳理论,但依然没有在空间导航中看到维纳理论的实际应用。

    在1950末期,大部分工作开始对维纳滤波器中协方差的先验知识通过状态空间模型进行描述。通过状态空间表述后的算法就和今天看到的Kalman滤波已经极其相似了。Johns Hopkins大学首先将这个算法用在了导弹跟踪中,那时在RAND公司工作的Peter Swerling将它用在了卫星轨道估计,Swerling实际上已经推导出了(1959年发表的)无噪声系统动力学的Kalman滤波器,在他的应用中,他还考虑了使用非线性系统动力学和和测量方程。可以这样说,Swerling和发明Kalman滤波器是失之交臂,一线之隔。在kalman滤波器闻名于世之后,他还写信到AIAA Journal声讨要获得Kalman滤波器发明的荣誉(然而这时已经给滤波器命名Kalman了)。总结其失之交臂的原因,主要是Swerling没有直接在论文中提出Kalman滤波器的理论,而只是在实践中应用。

    Rudolph Kalman在1960年发现了离散时间系统的Kalman滤波器,这就是我们在今天各种教材上都能看到的,1961年Kalman和Bucy又推导了连续时间的Kalman滤波器。Ruslan Stratonovich也在1960年也从最大似然估计的角度推导出了Kalman滤波器方程。

    目前,卡尔曼滤波已经有很多不同的实现。卡尔曼最初提出的形式现在一般称为简单卡尔曼滤波器。除此以外,还有施密特扩展滤波器、信息滤波器以及很多Bierman, Thornton开发的平方根滤波器的变种。也许最常见的卡尔曼滤波器是锁相环,它在收音机、计算机和几乎任何视频或通讯设备中广泛存在。

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